Diketahui bahwa \(x, a_1, a_2, a_3, y\) dan \(x, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, y\) dengan \(x \neq y\) adalah dua buah barisan aritmatika, maka \( \frac{a_3-a_2}{b_5-b_3} = \cdots \)
- \( \frac{1}{4} \)
- \( \frac{2}{4} \)
- \( \frac{3}{4} \)
- \( \frac{4}{3} \)
- \( \frac{5}{3} \)
(Soal SIMAK UI 2013)
Pembahasan:
Dari barisan \(x, a_1, a_2, a_3, y\), diperoleh \(u_1 = x \) dan misalkan beda = \(p\), maka:
\begin{aligned} u_n &= u_1 + (n-1) \cdot b \\[8pt] u_5 &= x + (5-1) \cdot p \\[8pt] y &= x + 4p \\[8pt] p &= \frac{y-x}{4} \\[8pt] a_2 &= x + 2p \ \text{dan} \ a_3 = x+3p \end{aligned}
Dari barisan \(x, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, y\), diperoleh \(u_1 = x \) dan misalkan beda = \(q\), maka:
\begin{aligned} u_n &= u_1 + (n-1) \cdot b \\[8pt] u_7 &= x + (7-1) \cdot q \\[8pt] y &= x + 6q \\[8pt] q &= \frac{y-x}{6} \\[8pt] b_3 &= x + 3q \ \text{dan} \ b_5 = x+4q \end{aligned}
Dari hasil di atas, diperoleh:
\begin{aligned} \frac{a_3-a_2}{b_5-b_3} &= \frac{(x+3p)-(x+2p)}{(x+5q)-(x+3q)} \\[8pt] &= \frac{p}{2q} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{y-x}{4}}{\frac{y-x}{6}} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{4} = \frac{3}{4} \end{aligned}
Jawaban C.